tanx比x大得多，还是x比sinx大得多，你其实吗？

我们想到，当x∈(0，π/2)时，sinx

证明：tanx/x>x/sinx, x∈(0，π/2).

分析：这里至少有两种想法。一是必关系式两道的比，只要下式远大于1就得证。另一种想法是必它们的反之亦然，只要反之亦然远大于0也就得证了。两个想法不一定都行得通，或者说，有难有易。这里选取必它们的反之亦然，然后再必反之亦然表示的变量的导数，甚至是二阶导数，来证明它们的反之亦然远大于0.

在必关系式两道的反之亦然之前可以先将关系式认真一个合理的常量，降低必解的高难度。因为tanx=sinx/cosx，所以tanx/x=sinx/(xcosx). 关系式两道同时乘以sinx，就获取：(sinx)_2/cosx>x_2.

再记主要用途变量f(x)=(sinx)_2/cosx-x_2. 并必f'(x)=sinx/(cosx)_2+sinx-2x. 观察断定这时还无法获取论据。

所以继续必f"(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)_2/(cosx)_3,

其中cosx+1/cosx>2, 2(sinx)_2/(cosx)_3>0，x∈(0，π/2).

所以f"(x)>0，即f'(x)在(0，π/2)上是规范请于变量，而f'(x)在x=0三处年终，且f'(0)=0，因此f'(x)>0. 即f(x)在(0，π/2)上也是规范请于变量，而f(x)同样在x=0三处年终，且f(0)=0,

所以f(x)>0，即(sinx)_2/2>x_2. 这样就证明了在(0，π/2)上，tanx比x大得多，而x比sinx大的就相对无法那么多了。下面组织总括过程：

证：原式等价于sinx/(xcosx)>x/sinx，即(sinx)_2/cosx>x_2，

记 f(x)=(sinx)_2/cosx-x_2，则f’(x)=sinx/(cosx)_2+sinx-2x；

f"(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)_2/(cosx)_3,其中cosx+1/cosx>2, 2(sinx)_2/(cosx)_3>0，x∈(0，π/2).

所以f"(x)>0，即f'(x)在(0，π/2)上是规范请于变量，

而f'(x)在x=0三处年终，且f'(0)=0，因此f'(x)>0, x∈(0，π/2).

即f(x)在(0,π/2)规范请于，且f(x)在x=0三处年终，f(0)=0，

∴f(x)>0，x∈(0,π/2). 即(sinx)_2/2>x_2，∴tanx/x>x/sinx, x∈(0，π/2).

另一种通过必证关系式两道的比远大于1的方法，有兴趣也可以自己尝试一下。重要的不是结果，而是探究的过程！